暇な源内さん

源内さんがほぼ毎月挑戦している某数学サイトでの今月の問題です。 暇な人は挑戦してみてください　決して難しくはありません
 →　http://www2.nkansai.ne.jp/users/yoshioka/challe_f.htm

問題
「　よしおくんは、連続する正の整数の和がちょうど153になる数字の組み合わせは５種類あることを知りました。 　丁寧に数え上げると、
76+77=153
50+51+52=153
23+24+25+26+27+28=153
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17=153
の４種類をみつけました。
ここで問題です。
あと１種類は、いくらから始まる数字の和でしょうか。 最初の数字を答えてください。
（上の例では、76と50と23と1です）」

 153＝17 Ｘ 9 なので直感で　17を9個並べれば153　とわかれば正解はみつかります。
 すると17を中心に　小さいほうを4つ　大きいほうを4つ　ならべれば合計は153になります。
 　13＋14＋15＋16＋17＋18＋19＋20＋21＝153です。　答えは13 

「直感かよ～」　と言われそうですね
ではもっとまじめに解きましょう
Kから始まるn個の数は
 　　k+(k+1)+(k+2)+ 　　　　 +(k+(n-1)) となります
和を求めるには最初と最後を足してn倍して２で割れば出てきます すると
153 ＝ n(2k+n-1) / 2
nの範囲は題意から2から17までの正の整数です
（すでにn=2,3,6,17が正解なのはわかっています）

これからkについて解きます
 　　k = 153/n - (n-1)/2　　
通分すると分子がうまく因数分解できて
 　　k = (17+n)(18-n) / (2n)

これでkが正の整数になればよいのですが　(17+n)　と　(18-n)　はどちらかが偶数、どちらかが奇数になりますから分母の２は消えます　すると分母のnが消えるためには？　と考えていきます　するとn=9　が候補になりますね
 　　n=9 でkを求めると13　
13から9個並べると153 　13＋14＋15＋16＋17＋18＋19＋20＋21＝153　　　答えは13 

実際　2から17までの16個のうち2,3,6,17を除いた12個のnで試してみると　9以外は整数にならないのがわかります　1個1個計算してもたいした手間ではありませんし表計算ソフトを使えば一瞬で答えが出ます

 あいかわらず暇な源内さんでした