暇な源内さん 2

7/2放送のコマ大数学科からの問題

要約すると

「4分の1の円OABの円周上を点PがAからBまで動くとき角OPMが最大になる時のPの座標は？」

---------------　　直感で予想すると　θ＝30度　あたりかな？　--------------------------

さてP (x , y ) として考えます。

題意では　x もy も正　で  0 ≦ x , y  ≦ 2　 で考えれば十分です。

θ が最大の時には sin θ  も最大になるので

正弦定理を使うと

OM / sin θ  =  PM / sin α　

さらに

OM = 1  ,   PM = √((x-1)^2 + y^2)  , sin α  = y / 2

また　x^2 + y^2 = 4　　ですから

  2 sin  θ  =   √ ( (4 - x ^2)/(5- 2x ) )　　= 　f(x)

と整理できます。これを0 から2 の範囲でxで微分すれば答えはでますが  √　の分数の微分はかなりやっかいです。どうしよう？

ルートの中身をg (x) とすれば,題意の範囲で g (x) は正で

g (x)  が最大のときに　f (x) は最大になります。

g (x) の大小で判断がつきますね。

そこで　g (x) 　を x で微分します。

g ' (x) =  2 ( x -1 ) ( x - 4 ) / (5 - 2x )^2

できました。　x = 1 のときに最大になります。

予想通り　θ =  30 度のときでした。

答え　P (1 , √ 3 )

放送では東大生が苦しむなかマス北野が見事に正解を出していました。さすがです。

※　大変やっかいですがf ( x ) をそのまま微分しても同様に解け　 ( x -1 ) ( x - 4 ) 　のパーツがでてきます。　死ぬほど暇な方は挑戦してみてください。