原始ピタゴラス数

（3,4,5）や（5,12,13）は有名ですが、これは何でしょう？

 整数の辺の長さで直角三角形を形づくる数の組み合わせです。
 これを「ピタゴラス数」といいます。
三平方の定理で学びましたね。
 （3,4,5）を２倍して（6,8,10）としてもやはりピタゴラス数になります。
 この数の組み合わせには　ご存知の通り
　　a^2+b^2=c^2　　（a^2とはaの２乗という意味）
 という関係があります。 

ピタゴラス数のうち（3,4,5）や（5,12,13）のように互いに素なものを
　　原始ピタゴラス数
といいます。他には（8,15,17）や（7,24,25）などが有名ですね。
（6,8,10）は２で割れますから原始ピタゴラス数ではありません。

 原始ピタゴラス数には以下のような特徴があります。 　
　 a,b はc より小さい
 　c は奇数
 　a,b はどちらか奇数、どちらか偶数
 　a+b は奇数
 　a+b+c は偶数
 　a,b,c のうちどれかが3の倍数、4の倍数、5の倍数
 　abc は60の倍数

 またこれらa,b,c が作る直角三角形の内接円の半径はいずれも整数になります。

 他にはどんなピタゴラス数があるのだろう？気になりませんか？
 そこで無限にあるピタゴラス数を探すための有名な方法をご紹介しましょう。　

 m , n を自然数、 m > n として
 　a = m^2 - n^2
 　b = 2mn
 　c = m^2 + n^2

 この m , n に数を入れていくとピタゴラス数がいくらでも計算できます。
 　m = 2 , n = 1 のとき　（3,4,5）
 　m = 3 , n = 1 のとき　（6,8,10）
 　m = 3 , n = 2 のとき　（5,12,13）
という具合です。　

 m と n から三角形の面積を求めると内接円の半径 r が求まり
 　r = n(m-n)
 となりますから内接円の半径も整数になりますね。

以下黄色が原始ピタゴラス数、ピンク色はまぎわらしいものです。

普通のピタゴラス数と原始ピタゴラス数って何がちがうのだろう？

どうやってみわけられるのだろう？


ここが今日の本題です

よく検討するとわかりますが。ぱっとみで原始ピタゴラス数にみえる（27,36,45）や（45,108,117）は原始ピタゴラス数ではありません。（9で割ってみてください）

　そこで悩むこと数十分。　　　やっと見つけました。

原始ピタゴラス数の条件は

　m - n が奇数　かつ　m , n  が素である
ことでした。

また無限にあるピタゴラス数のうち原始ピタゴラス数はその半分ちかく存在するようです。

数学って美しいですね。

昔「たけしのコマ大数学科」で出題された問題です。

 直角三角形の辺  a,b,c  の長さの和が 132 のとき a,b,c はいくつになるか？

 答え）　m = 6 , n = 5 のときで　a = 11 , b = 60 , c = 61 です。

たけしチームは正解。東大女子チームは大苦戦だったそうです。